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Epreuve Orale 3380

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Courbes paramétrées - Maths 2

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
On considère la courbe $(\mathscr{C})$ : $\begin{cases}x(t) = t^3 - 3t\\y(t) = 3t(t-2)\end{cases}$

1) A l'aide de $\tt Python$, tracer la courbe $(\mathscr{C})$.
2) Trouver tous les points pour lesquels la vitesse de la courbe s'annule.
    Trouver tous les points pour lesquels la tangente à la courbe est verticale.
3) On cherche les points $P$, $(x_P, y_P)$ tel qu'il existe $t$ et $t_0$ réels tels que les droites $(PM)$ et $(PM_0)$ soient perpendiculaire et tangentes à la courbe $(\mathscr{C})$ où $M=(x(t), y(t))$ et $M_0 = (x(t_0), y(t_0))$.
   Trouver un système d'équations vérifié par ces points.
4) Résoudre le système. On obtient une courbe $(\mathscr{C}_0)$ de la forme :

                $\displaystyle x(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t+1}\ \ ,\ \ y(t) = \frac{a't^4 + b't^3 + c't^2 + d't +e'}{(t+1)^2}$

5) A l'aide de $\tt Python$, tracer $(\mathscr{C}_0)$.
6) Trouver une équation cartésienne de $(\mathscr{C}_0)$.

Fin de la feuille. Questions supplémentaires :
Comment trouver les coefficients d'un polynôme de degré $d$ ? Est ce que cette méthode fonctionne toujours ? De quelle autre manière peut-on le montrer ?
J'ai eu le droit à plusieurs petites questions sur les tangentes à la courbes. Quelle est la pente des tangentes ? par exemple.
Que vaut $\displaystyle \int_0^1v(t)\text{dt}$ où $v$ est la vitesse de la courbe ? Par quoi peut-on minorer $\displaystyle \int_0^1\|v(t)\|\,\mathrm{dt}$ ? Le démontrer.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour les questions 3), 4), il m'a dit de réexprimer le fait que $(PM)$ et $(PM_0)$ soient perpendiculaire en utilisant le fait que $(PM)$ et $(PM_0)$ soit tangent à la courbe, plutôt que d'écrire l'équation $\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PM_0} = 0$
Commentaires divers
Examinateur très sympathique et souriant.
Nous avons pas fait la question 4) jusqu'au bout, après avoir exprimé $t_0$ en fonction de $t$, il m'a juste demandé comment je ferais pour exprimer $x_P$ en fonction de $t$ avec les équations du système restantes.
Pour la question 5) il m'a demandé l'allure de la courbe $(\mathscr{C}_0)$ en me donnant $a$ et $a'$, je n'ai pas eu à utiliser python.
Pour la question 6) il m'a alors demandé qu'elle pourrait être la forme de l'équation cartésienne (une parabole). Il m'a demandé de trouver le coefficient de $x^2$ puis m'a demandé comment je ferais pour trouver les autres coefficients.
Après 30 minutes de préparation je n'ai passé que 15 minutes au tableau sur les 6 questions de la feuille l'examinateur ne voulant pas que je fasses tous les calculs mais que je lui donne les méthodes. Durant les 15 autres minutes ils cherchaient et me donnaient de nouvelles questions.

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