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Epreuve Orale 3368

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : ENS (non PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire - Calcul différentiel

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
1. Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $B\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$. Montrer que $\det(A+B)\cdot\det(A-B)=\det(B)\cdot\det(AB^{-1}A-B)$.
2. Calculer la différentielle du déterminant en $I_n$.
3. Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On suppose que $B,\, A+B,\, A-B,\, AB^{-1}A-B$ sont inversibles. Montrer que $(A-B)^{-1}-(A+B)^{-1}=2(AB^{-1}A-B)^{-1}$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Si $M$ est une matrice très petite, que vaut $\det(A+B+M)$ d'après ce qui précède ? Quelles autres identités pouvez-vous écrire ?
Question en toute toute fin d'oral, après avoir expliqué comment conclure l'exercice : Pouvez-vous me donner la formule du déterminant ?
Commentaires divers
Oral Ulm Lyon Cachan Rennes.
2. J'ai commencé par dire que le déterminant était $\mathcal{C}^1$ car c'était une application n-linéaire en dimension finie. Il a préféré que je dise que c'était un polynôme en les coefficients de la matrice.
J'ai du beaucoup détaillé le développement de $\det (I_n+H)$ par n-linéarité, car il ne semblait pas convaincu.
3. L'exercice n'a pas été terminé au tableau. A l'oral, il m'a demandé comment on pouvait conclure. J'ai donné les grands axes pour arriver au résultat, il semblait satisfait.

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