Énoncé(s) donné(s) EXERCICE 1
On considère un entier naturel non-nul $N$ et $n$ un entier naturel inférieur à $N.$On considère un jeu à deux joueurs, $A$ et $B$.Le joueur $A$ possède initialement $n$ billes et le joueur $B$ en possède $N-n.$ Une partie se joue en manches successives. Si un joueur perd une manche, il doit donner une bille à l'autre. La partie se termine quand un joueur possède les $N$ billes, ce joueur étant alors déclaré gagnant.
Le joueur $A$ remporte chaque manche avec une probabilité $p \in \left]0,1\right[$. Déterminer la probabilité que $A$ gagne.
EXERCICE 2 Soit $A \in \mathcal M_n (\mathbb C)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement s'il existe une suite de matrices semblables à $A$ convergeant vers la matrice nulle.
Dernière question : L'application qui à une matrice associe son polynôme minimal est-elle continue ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve Pas de grosses indications, surtout des questions du type "Qu'est-ce qu'on peut regarder ?" ou des suggestions de notations. Commentaires divers
Pour le premier exercice, j'ai voulu essayer une méthode élégante, mais ça a bloqué à un endroit. L'examinateur avait l'air agréablement surpris de la découvrir malgré tout. Quand je lui ai dit que ça n'allait probablement pas marcher, il a dit que c'était dommage et m'a demandé si je voyais une autre méthode en regardant les probabilités par rapport à n. Pour le second, j'avais écrit toute la solution au tableau, mais j'ai vraiment eu du mal à percuter que c'était terminé ^^
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