Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

   Exercice 51 de la banque, sur la fonction Arcsinus.

Algèbre:

Soit E un $\mathbb{K}$-ev, soit u un endomorphisme de E.

On dit que u est cyclique si il existe un vecteur x$\in$E, tel que $\beta = (x,u(x),...,u^{n-1}(x))$ soit une base de E.

On dit que $x$ est un $u$-générateur de E

1) Donner la forme de la matrice de $u$ dans la base $\beta$ d'un $u$-générateur de E.

Montrer que $\pi_{u} = \chi_{u}$.

2) On suppose $u$ est nilpotent. Montrer que: $u$ cyclique $\Leftrightarrow$ $u$ nilpotent d'indice n.

3) On suppose que $u$ admet n valeurs propres 2 à 2 distinctes.

Montrer que $u$ est cyclique.

Indication: (Dans le sujet): Montrer que $x = x_{1}+...+x_{n}$ est $u$-générateur de $E$, où $(x_{i})$ est une base de vecteurs propres $u$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pas d'indications, sauf pour la question 3), à la toute fin de l'épreuve où il m'a conseillé de réécrire une somme différemment, pour que je finisse l'exercice.
Commentaires divers

Examinateur qui ne parle pas beaucoup, et qui m'a dit que ce n'était pas une colle à un moment où je bloquais sur la fin de la question 1, et qu'il fallait proposer. Il m'a demandé si j'avais fait d'autres questions et je suis passé à la suite.