Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1
Donner un équivalent lorsque $n\to+\infty$ de $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} \frac 1{\sqrt{k}}.$

Exercice 2
On se place dans $\mathbb R_n[X].$ On définit le produit scalaire :
               $\displaystyle\forall P,Q\in \mathbb R_n[X],\ \langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^{n} P^{(k)}(1)Q^{(k)}(1).$

1) Justifier que c'est un produit scalaire.
2) Soit $E = \left \{ P\in \mathbb{R}_{n}[X]\ /\ P(1)=0 \right \}.$
    Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel et donner sa dimension.
3) Que vaut $d(1,E)$ ?