Énoncé(s) donné(s)
1. On considère pour $x>0$ la suite $(u_n)$ définie pour $n\in \mathbb{N}$ par $u_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{x+n}$ et $f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)$.
a) Rappeler le critère des séries alternées avec la majoration du reste et son signe.
b) i) $f$ est-elle bien définie et continue sur $\mathbb{R}^*_+$ ?
ii) Montrer que pour tout $x>0:\ f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}-\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{x+k+1}.$
c) Montrer que : $\forall x>0,\ 2f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}+ \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(x+k+1)(x+k)}$
d) Déterminer un équivalent de $f$ en $+\infty$
e) Déterminer un équivalent de $f$ en $0^+.$
f) Montrer que : $f(x)=\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{t^{x-1}}{1+t}\, \mathrm{d}t.$
2) (sans préparation) Soit $X,Y$ des variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres $p_1$ et $p_2$. Déterminer la loi de $Z=\min(X,Y).$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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