Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
1) Soit $n\in\mathbb{N}$. Montrer que si $2^n+1$ est premier alors il existe $p\in\mathbb{N}$ tel que $n=2^p$.
2) a) On note $f_p=2^{2^p}+1$. Montrer que, pour $p\neq q$, $f_p\wedge f_q=1$.
b) En déduire qu'il y a une infinité de nombres premiers.
Exercice 2 :
Soit $f:x\in\mathbb{R}_+\longmapsto \int_0^1\frac{\text{e}^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\text{ d} t$
1) Montrer que $f$ est dérivable et calculer $f'(x)$ pour $x\in \mathbb{R}_+$.
2) En déduire $\int_0^{+\infty} \text{e}^{-x^2}\text{d} x$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 1 :
1) Raisonner par la contraposée ($n=2^p q$ avec $q\geqslant 3$ un nombre impair) et factoriser dans $\mathbb Z[X]$ le polynôme $X^q+1$.
2) a) $2^{2^p}\equiv -1\, [f_p]$ et $f_q\equiv 0\, [2^{2^p}]$ si $q>p$.
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