Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 : n° 63 de la Banque CCP.
Exercice 2 Soit $\ell^{\infty}(\mathbb{R})$ le sous-espace vectoriel des suites réelles bornées et $E$ le sous-espace vectoriel de $\ell^{\infty}(\mathbb{R})$ des suites $u$ vérifiant de plus $u_0=0.$
Si $u=(u_n)_{n\in \mathbb N}$, on pose $N_{\infty}(u)=\sup\limits_{n\in \mathbb{N}}\left | u_{n} \right |$ et $N(u)=\sup\limits_{n\in \mathbb{N}}\left | u_{n+1}-u_{n} \right |.$
1. Montrer que $N_{\infty}$ est une norme sur $\ell^{\infty}(\mathbb{R})$ et $N$ une norme sur E. $N$ est-elle une norme sur $\ell^{\infty}(\mathbb{R})$ ?
2. Comparer $N$ et $N_{\infty}.$
3. Soit $p\in \mathbb{N}^*$. On considère la suite $u^{p}=(u_{k}^{p})_{k\in \mathbb{N}}$ définie par :
$u_k^p= 0$ si $k=0$, $u_k^p = \frac{1}{p}+\frac{1}{p+1}+\cdots+\frac{1}{p+k-1}$ si $1\leqslant k\leqslant p$ et $u_k^p=u_p^p$ si $k\geqslant p+1$.
Montrer que $u^{p}$ est dans $E$ et que la suite $(u^p)_p$ converge pour la norme $N$, mais pas pour la norme $N_{\infty}$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
30/06/2017 à 19:49
24/07/2017 à 17:28