Epreuve Orale 3081

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2017
Filière : 
MP
Concours : 
CCP
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Analyse, Algèbre
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 : n° 63 de la Banque CCP.
Exercice 2 
Soit $\ell^{\infty}(\mathbb{R})$ le sous-espace vectoriel des suites réelles bornées et $E$ le sous-espace vectoriel de $\ell^{\infty}(\mathbb{R})$ des suites $u$ vérifiant de plus $u_0=0.$
Si $u=(u_n)_{n\in \mathbb N}$, on pose $N_{\infty}(u)=\sup\limits_{n\in \mathbb{N}}\left | u_{n} \right |$ et $N(u)=\sup\limits_{n\in \mathbb{N}}\left | u_{n+1}-u_{n} \right |.$

1. Montrer que $N_{\infty}$ est une norme sur $\ell^{\infty}(\mathbb{R})$ et $N$ une norme sur E. $N$ est-elle une norme sur $\ell^{\infty}(\mathbb{R})$ ?
2. Comparer $N$ et $N_{\infty}.$
3. Soit $p\in \mathbb{N}^*$. On considère la suite $u^{p}=(u_{k}^{p})_{k\in \mathbb{N}}$ définie par :

$u_k^p= 0$ si $k=0$, $u_k^p = \frac{1}{p}+\frac{1}{p+1}+\cdots+\frac{1}{p+k-1}$ si $1\leqslant k\leqslant p$ et $u_k^p=u_p^p$ si $k\geqslant p+1$.

Montrer que $u^{p}$ est dans $E$ et que la suite $(u^p)_p$  converge pour la norme $N$, mais pas pour la norme $N_{\infty}$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Qualité de ce compte-rendu
5
Votre note : tout membre peut choisir une étoile... Moyenne des notes : 5 (1 vote)

Commentaires sur cette épreuve orale

La question 3 ne fonctionne pas avec cette définition de $u^p$ : $N(u^{p+1}-u^p)$ ne tend pas vers 0.

Pour $k\geq p+1$, il faut vraisemblablement prendre $u_k^p=u_p^p$ (suite constante à partir du rang $p$).
Vous avez raison : je corrige en ce sens. Merci.