Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1  (sans préparation)
Pour $x\in \left]1,+\infty\right[$, on pose $ H(x) = \displaystyle\int_{x}^{x^2}\frac{\mathrm dt}{\ln t}.$
1. Montrer que $H$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et calculer sa dérivée.
2. Montrer que la fonction $u$ définie sur $ \left]1,+\infty\right[$ par $u(x)=\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{x-1}$ admet une limite quand $x\to1^+.$
    En déduire que $H$ admet une limite en $1^+$ et la calculer.
3. On prolonge $H$ par continuité en 1, la fonction obtenue est-elle de classe $\mathscr{C}^1$?
4. Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} H(x)$.
5. (Rajouté par l'examinateur) Et la limite de $\dfrac{H(x)}{x}$ en $+\infty$?

Exercice 2 (sans préparation)
Trouver une CNS sur la matrice $A\in \mathscr{M}_3(\mathbb{C})$ pour qu'il existe $M\in \mathscr{M}_3(\mathbb{C})$ telle que $A=M^3.$