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Epreuve Orale 3040

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : ENS (non PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Groupe fini - Involution

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $G$ un groupe, on dit que $x \in G$ est une involution si $x$ est d'ordre exactement $2$, et que $x, y \in G$ sont conjugués s'il existe $g \in G$ tel que $x = g y g^{-1}$. On appelle classe de conjugaison de $g \in G$ l'ensemble $\text{cl}_G(g) = \{ x g x^{-1}, x \in G \}$, et centralisateur de $g$ l'ensemble $C_G(g) = \{x\in G,\ xgx^{-1} = g\}$.
1) Soit $G$ un groupe de cardinal fini, et $i, j \in G$ deux involutions. Montrer que $i$ et $j$ sont conjugués ou qu'il existe $k \in G$ involution qui commute avec $i$ et $j$.
2) Soit $G$ un groupe fini qui possède deux involutions $i_0$ et $j_0$ qui ne sont pas conjuguées. Soit $c$ le cardinal maximal du centralisateur d'une involution de $G$. Montrer que $|G| < c^3$.
Indication : considérer l'application $f : i \mapsto k_i$ définie sur $\text{cl}_G(i_0)$ où $k_i$ est associée à $i$ et $j_0$ comme dans la question précédente.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1) L'examinateur m'a fait remarquer qu'en posant $x = i j$, on aurait $x^{-1} = i x i$. Il m'a alors conseillé de raisonner en fonction de la parité de l'ordre $x$.
2) L'examinateur m'a conseillé de regarder à quelle condition deux éléments de $\text{cl}_G(i_0)$ ont la même image par l'application $f$.
Commentaires divers
L'indication de la question 2 faisait partie de l'énoncé de l'exercice.

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