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Epreuve Orale 3025

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Saint-Cyr

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre - Analyse

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 
Soit $u=(u_n)$ une suite réelle. On pose $\Delta u_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ et $ \Delta^{2}u_{n}=u_{n}-2u_{n+1}+u_{n+2}$ pour tout entier $n$.
On dit que $(u_n)$ est convexe si et seulement si $\Delta ^{2}u_{n}\geqslant 0$ pour tout entier $n$.

1. Trouver une CNS portant sur $(\Delta u_{n})$ pour que $(u_n)$ soit convexe.
    Dans la suite, on suppose que $(u_n)$ est convexe et bornée.
2. Montrer que $(\Delta u_{n})$ converge
3. Montrer que $(u_n)$ converge.
    Il y avait deux autres questions dont je ne me souviens plus.

Exercice 2
Soient $A,B,M\in \mathfrak M_{n}(\mathbb{C})$ telles que $AM=MB$ avec $M\neq 0.$
1. Montrer que pour tout $P\in \mathbb{C}\left [ X \right ],\  P(A)M=MP(B).$
2. Montrer que $A$ et $B$ ont une valeur propre commune.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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