Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 2990

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : ENS (non PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Bijections - Ensembles équipotents - ULCR

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
$\bf 1)$  Soit $\Omega$ l'ensemble des ouverts de $\mathbb{R}$. $\Omega$ est-il équipotent à $\mathbb{N}$ ?  à $\mathbb{R}$ ? à l'ensemble des parties de $\mathbb{R}$ ? On pourra utiliser le théorème suivant :

                        Soit $X$ et $Y$ deux ensembles. S'il existe $f_1 : X \to Y$ injection et  $f_2 : X \to Y$ surjection, alors $X$ est équipotent à $Y$.

$\bf 2)$ Soit $X$ un ensemble, soit $f : \mathcal P(X) \to \mathcal P(X)$ une fonction croissante pour l'inclusion. Montrer que $f$ admet un point fixe.
 
$\bf 3)$ Démontrer le théorème utilisé en question $\bf 1).$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
$\bf 1)$ On peut considérer  l'ensemble $A = \{ (]a,b[)_{(a,b) \in \mathbb{Q}^2}\}.$

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