Énoncé(s) donné(s)
$\bf 1)$ Soit $\Omega$ l'ensemble des ouverts de $\mathbb{R}$. $\Omega$ est-il équipotent à $\mathbb{N}$ ? à $\mathbb{R}$ ? à l'ensemble des parties de $\mathbb{R}$ ? On pourra utiliser le théorème suivant :
Soit $X$ et $Y$ deux ensembles. S'il existe $f_1 : X \to Y$ injection et $f_2 : X \to Y$ surjection, alors $X$ est équipotent à $Y$.
$\bf 2)$ Soit $X$ un ensemble, soit $f : \mathcal P(X) \to \mathcal P(X)$ une fonction croissante pour l'inclusion. Montrer que $f$ admet un point fixe.
$\bf 3)$ Démontrer le théorème utilisé en question $\bf 1).$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve $\bf 1)$ On peut considérer l'ensemble $A = \{ (]a,b[)_{(a,b) \in \mathbb{Q}^2}\}.$
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