Énoncé(s) donné(s) Soit $\rho$ une matrice symétrique positive. On dit que $\rho$ est un état si $\operatorname{Tr}(\rho) = 1$. 1. Soit $A \in \mathfrak M_n(\mathbb{R})$, et $V \in \mathbb{R}^n$ de norme 1. On note $\Pi_V$ la projection orthogonale sur $\operatorname{Vect}(V)$. Montrer que $\operatorname{Tr}(\Pi_V A) = (V | AV).$ 2. Soit $\rho$ un état, montrer qu'il existe $(\lambda_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in (\mathbb{R}_+)^n$ et $(V_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$ tels que $\rho = \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i \Pi_{V_i}$. 3. Soit $\rho$ un état, on dit que $\rho$ est un état pur si, et seulement si, tous les $\lambda_i$ sont nuls sauf un. Montrer qu'un état $\rho$ est pur si, et seulement s'il existe $P$ un projecteur orthogonal de rang $1$ de $\mathbb{R}^n$ tel que $\operatorname{Tr}(\rho P) = 1.$ 4. Montrer qu'un état $\rho$ est pur si et seulement si $\operatorname{Tr}(\rho^2) = 1$. 5. Dans le cas $n = 2$, montrer que les états purs sont exactement les $\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos \varphi & \sin\varphi \\ \sin\varphi & 1 - \cos\varphi \end{pmatrix}$ avec $\varphi \in \mathbb{R}.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve A la question 1, l'examinateur m'a demandé comment la trace d'un endomorphisme peut s'exprimer simplement à l'aide d'une base orthonormée. Commentaires divers
NA
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