Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Échangeons, communiquons ...

Epreuve Orale 2966

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : ENS (non PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice - Résolution de problème

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : CR - Espace vectoriel normé - Valeurs propres

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
On prend $A$ dans $\mathfrak M_n(\mathbb{R})$ avec $ \lambda_1 >\cdots > \lambda_n>0$ ses valeurs propres.
 
1. (cours) Montrer qu'il existe $P,D \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \times \mathfrak M_n(\mathbb{R})$ avec $D$ diagonale tels que $A = PDP^{-1}$
2. Étudier la suite $k\mapsto \frac {X_k}{\parallel X_k \parallel_2 }$, où $X_{k+1} = AX_k$ et la composante de $X_0$ suivant le sous-espace propres $E_{\lambda_1}(A)$ n'est pas nulle. 
    Montrer qu'elle tend vers un vecteur propre $V_1$ associé à $\lambda_1$ .
3. De même, étudier la suite $k\mapsto \frac {X_k^TAX_k}{\parallel X_k \parallel_2 ^2}$ et montrer qu'elle converge vers une valeur propre.
4. On peut ainsi obtenir par ces suites un vecteur propre et une valeur propre associée.
    Transformez maintenant $A$ en une autre matrice $B$ pour obtenir par la même méthode $\lambda_2$ et le vecteur propre associé.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
4. s'intéresser à la matrice $V_1V_1^T$ (qui est notamment de rang 1, mais l’examinateur ne m'avait pas donné l'info). Étudier ses vecteurs propres et valeur propres éventuelles. Et on finit par poser $B=A-\lambda_1 V_1V_1^T $ et on itère la méthode pour obtenir tout le spectre et les vecteurs propres associés.

Commentaires divers :
A la fin il m'a demandé ce que je voulais faire plus tard, si je voulais être chercheur ou ingénieur...

Commentaires

Xylanor
20/06/2017 à 20:51
Bonsoir Liam, quelle est l'initialisation pour la question 2 ?