Énoncé(s) donné(s) Exercice 1 1. Soit $K$ un compact, et $(K_n)_{(n \in \mathbb N )}$ une suite de fermés de $K$ tels que $\bigcap_{n \in \mathbb N} K_n = \emptyset$. Montrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que $\bigcap _{n=0} ^{n_0} = \emptyset$. 2. Soit $K$ un compact et $v$ une fonction de $K$ dans $\mathbb R$. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite de fonctions continues de $K$ dans $\mathbb R$, convergeant simplement vers $v$. Montrer que $v$ est continue si et seulement si on a : $\forall \varepsilon > 0 ~~ \forall m \in \mathbb N ~~ \exists J \subset \mathbb N _m , |J| < +\infty ,~~ \forall x \in K ~~ \exists n \in J ~~ |u_n(x) - v(x)| < \varepsilon$, ($\mathbb N _m$ désigne l'ensemble des entiers naturels supérieurs à $m$).
Exercice 2 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f \circ f =0$. Montrer qu'il existe $h$ et $g$ des endomorphismes tels que $f = g \circ h$ et $h \circ g = 0$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C. Commentaires divers
N.C.
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