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Epreuve Orale 279

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2013

Filière : MP

Concours : X (non PC/PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire - Analyse

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
1. Soit $K$ un compact, et $(K_n)_{(n \in \mathbb N )}$ une suite de fermés de $K$ tels que $\bigcap_{n \in \mathbb N} K_n = \emptyset$. Montrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que $\bigcap _{n=0} ^{n_0} = \emptyset$.
2. Soit $K$ un compact et $v$ une fonction de $K$ dans $\mathbb R$. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite de fonctions continues de $K$ dans $\mathbb R$, convergeant simplement vers $v$. Montrer que $v$ est continue si et seulement si on a :
$\forall \varepsilon > 0 ~~ \forall m \in \mathbb N ~~ \exists J \subset \mathbb N _m , |J| < +\infty ,~~ \forall x \in K ~~ \exists n \in J ~~ |u_n(x) - v(x)| < \varepsilon$, ($\mathbb N _m$ désigne l'ensemble des entiers naturels supérieurs à $m$).

Exercice 2
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f \circ f =0$. Montrer qu'il existe $h$ et $g$ des endomorphismes tels que $f = g \circ h$ et $h \circ g = 0$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.

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