Soit $E$ et $F$ deux $\Bbb C$-espaces-vectoriels de dimension finie. Quelle est la dimension de $\mathcal L(E,F)$ ?
2) Soit $p$ formes linéaires $(f_1,\dots, f_p)$ sur un $\Bbb C$-espace-vectoriel $E$ de dimension finie $n\in\mathbb{N}^*.$
Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
$(i)$ Le système $(f_1, f_2, \dots,f_p)$ forme une famille libre,
$(ii)$ L'application $\begin{array}[t]{cccl}\varphi : &E &\to & \mathbb C^p\\ &x& \mapsto& (f_1(x),\dots, f_p(x))\end{array}$ est surjective,
$(iii)$ Il existe une famille $(x_1,\dots, x_p)$ d'éléments de $E$ telle que :
$\det( (f_j(x_i))_{i,j} ) = \begin{vmatrix} f_1(x_1) &\cdots& f_p(x_1) \\\vdots & & \vdots\\ f_1(x_p) &\cdots & f_p(x_p) \end{vmatrix} \neq 0$.
3) Montrer que : $\ \bigcap_{i=1}^p \ker f_i \subset \ker f \Longleftrightarrow f \in \text{Vect}(f_1, ..., f_p)$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Aucun commentaire posté pour le moment