Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
On considère $f \in \mathcal L(\mathbb{R}^{n})$ avec $\operatorname{Sp}(f)=\emptyset$. On note $A$ sa matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$.
$\text{Soient }\lambda \text{ une valeur propre complexe de }A \text{ et } Z \in \mathbb{C}^{n} \text{, un vecteur propre de } A \text{ associé à } \lambda$
$\text{On note } X \text{ (respectivement } Y \text{) le vecteur partie réelle (respectivement imaginaire) de }Z \text{. On a donc } Z=X+iY $
$\text{1) Montrer que } (X,Y) \text{ est libre.}$ On note $x,y\in\mathbb{R}^n$ les vecteurs dont les matrices dans la base canonique de $\mathbb{R}^n$ valent respectivement $X$ et $Y$.
$\text{2) Montrer que } \operatorname{Vect}(x,y) \text{ est stable par } f \text{.}$
$\text{3) On disposait d'une matrice de $M_4(\mathbb{R})$ (dont je ne me souviens plus) et il fallait trouver les plans stables par }f$
Exercice 2
$\text{Etudier l'intégrabilité de } \sin^{2}\text{ sur } \mathbb{R}$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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