$ \text{On pose } \forall n \in \mathbb{N} \space \space \forall x \in \mathbb{R} _{+} \space \space f_{n}(x)= \frac{(-1)^{n} }{n+1}e^{-nx} $
$\text{1.a) Étudier la convergence simple puis uniforme de } \sum_{n \ge 0 }^{} f_{n} \space \text{sur } \space \mathbb{R}_{+} \text{. On note }S \text{ sa somme.}$
$\text{1.b) Étudier la convergence normale sur } \mathbb{R}_{+} \text{.} $
$\text{2) Étudier la dérivabilité de } S \text{ sur } \mathbb{R}_{+}^* \text{.} $
$\text{3) Calculer }S.$
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