Énoncé(s) donné(s)
Soit $n \geqslant 3$, on considère l'équation suivante $(E_n) : \exp x = x^n.$
a) Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution $x_n$ sur $[0,n]$.
b) Afficher avec $\tt Python$ les valeurs de $x_n$ pour $n=10p,\ p = 1, \dots, 10$. Que peut-on conjecturer ? Le démontrer (on trouve $\lim x_n =1$).
c) Soit $\ell$ la limite trouvée précédemment. Montrer qu'il existe $a$ et $b$ réels tels que : $x_n = \ell + \dfrac an + \dfrac {b}{n^2} + \mathrm o(\dfrac 1{n^2})$.
Pour cela:
i) obtenir une approximation des valeurs de $a$ et de $b$ avec $\tt Python$.
ii) en considérant une autre expression de $(E_n)$, les calculer .
d) Désormais, on s'intéresse à l'intervalle $[n,+\infty[$. Montrer que l'équation $(E_n)$ admet une unique solution notée $y_n$ sur cet intervalle.
e) Étudier le comportement de $y_n$ en $+\infty$ (on trouve une suite croissante, de limite $+\infty$)
f) Trouver un développement asymptotique à 2 termes de $y_n$ pour $n$ tendant vers $+\infty$ (le premier terme est $n \ln n$ )
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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