Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
On considère des lancers successifs d'une pièce ayant une probabilité $p$ d'obtenir face et $q=1-p$ d'obtenir pile.
On se place dans un espace probabilisé $(\Omega,A,P)$ pour lequel $F_{n}$ est un événement, où $F_{n}$: "on obtient face au $n$-ième lancer".
On note par ailleurs $P_{n}$: "on obtient pile au $n$-ième lancer" et $E_{n}$: "on obtient une suite de $r$ faces consécutifs pour la première fois au $n$-ième lancer".

1. Exprimer $E_{0}$, ... , $E_{r-1}$ puis $E_{r}$ en fonction des $F_{k}$.
2. Montrer que $\forall n \in \mathbb N$ on a :
               $\displaystyle E_{n+r+1}=\left (\bigcap_{j=n+2}^{n+r+1}F_{j} \right )\cap P_{n+1}\cap \left ( \bigcap_{j=1}^{n} \overline{E_{j}}\right )$
    en convenant $\displaystyle \bigcap_{j=1}^{0} \overline{E_{j}}=\Omega.$
3. Montrer que $E_{n}$ est un événement. On note alors $p_{n}=P(E_{n})$
4. Écrire une fonction en python simulant l'expérience et renvoyant le temps d'attente de la première suite de $r$ faces consécutifs.
5. a) Montrer que $\sum p_{n}$ converge.
    b) Montrer que $\forall n \in \mathbb N$, $\displaystyle p_{n+r+1}=p^{r}q\left ( 1-\sum_{k=1}^{n} p_{k} \right )$
6. Exprimer $p_{n+r+1}$ en fonction de $p_{n+r},p,q,p_{n}$
7. Montrer que $\displaystyle G(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p_{n}x^{n}$ est définie et continue sur $\left [ -1;1 \right ]$
8. Démontrer alors qu'on a $\forall x \in \left [ -1;1 \right ]$, $\displaystyle \frac{G(x)}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }\left ( \sum_{k=0}^{n} p_{k} \right )x^{n}$
9. Exprimer enfin $G(x)$ à l'aide de la question 5.b).

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Oral Maths 2 (30 minutes avec préparation)