$\textit{Exercice 1}$
Soit $\left( a_{1},\ldots ,a_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ tel que $\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1.$ Soit $A=\left( a_{i,j}\right) _{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathfrak{M}_{n}\left( \mathbb{R}\right) $ définie par $a_{i,j}=a_{i}a_{j}$ pour $i,j\in \left\{ 1,\ldots ,n\right\} .$
1. Montrer que $A$ est la matrice d'un projecteur orthogonal.
2. Montrer que $I_{n}-2A$ est la matrice d'une symétrie orthogonale.
$\textit{Exercice 2}$
On considère une urne contenant une boule blanche et une boule noire. A chaque tirage, on rajoute une boule identique à la boule tirée. On fait $n$ tirages.
Soit $X_{n}$ le nombre de boules blanches tirées. Trouver la loi de $X_{n}.$
$\textit{Exercice 3}$
Déterminer $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(n\int_{0}^{1}\ln \left(1+t^{n}\right) \,\mathrm{d}t\right).$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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