Énoncé(s) donné(s)
On note $\Delta =\{(x, y) \in \mathbb R^2 | \, x =y \} $.
Soit $f: \begin{array}[t]{tcl}\mathbb{R}^2\setminus\Delta & \longrightarrow & \mathbb{R} \\(x,y)& \longmapsto & \frac {\sin x -\sin y}{x-y}\end{array}$.
1. Montrer que $ f $ est $\mathcal{C}^k, \forall k \geq 1$.
2. a) [Python] Soit $\phi_{\varepsilon,\lambda}:\begin{array}[t]{rcl}[-10,10] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\(\epsilon,\lambda)& \longmapsto & f (t+\varepsilon, t +\lambda \times \varepsilon)\end{array}$.
Tracer $ \phi_{\varepsilon,\lambda}$, pour $\varepsilon \in \{1,0.1,0.01\}$ et pour différentes valeurs de $\lambda $ dans $[-1,1 [$. Que peut-on conjecturer ?
b) Montrer que $ f $ est prolongeable en $\tilde f $ continue sur $\mathbb R ^2$.
3.a) Montrer que $\tilde f$ admet des dérivées partielles sur $\mathbb R ^2$.
b) [Python] Soit $\psi_{\varepsilon,\lambda} :\begin{array}[t]{rcl}[-10,10] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\(\epsilon,\lambda)& \longmapsto & \frac {\partial f} {\partial x} (t+\epsilon, t +\lambda \times \varepsilon)\end{array} $.
Tracer $ \psi_{\epsilon,\lambda}$, pour $\epsilon \in \{1,0.1,0.01\}$ et pour différentes valeurs de $\lambda $ dans $[-1,1 [$. Que peut-on conjecturer ?
c) Montrer que $\tilde f $ est $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R ^2$.
4. Montrer que $ \tilde f $ est $\mathcal C^k, \forall k \geq 1$.
5. Justifier l'existence pour $\tilde f $ d'un minimum et d'un maximum sur $\mathbb R ^2$ et les déterminer.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
4. Écrire $ \sin x -\sin y $ comme une intégrale entre $0$ et $1$, puis $ f (x, y) $ comme une intégrale entre $0$ et $1$.
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