Soit $(P_n)$ la suite de polynômes définie par $P_0=1$ et $\forall n\geqslant 1,\ P_n=\prod\limits^{n-1}_{i=0}(X-i)$.
1. Montrer que $(P_0,\dots,P_n)$ forme une base de $\mathbb R_n[X]$.
2. Soit $P=X^3$. Écrire $P$ en fonction des éléments de la base.
3. On pose $f(x)=\frac{1}{1-x}$. Donner le développement en série entière de $f,\ f'$ et $f''$, puis de $f^{(k)}$.
4. Pour tout $k\in\mathbb N^*$, écrire $\frac{k!x^{k}}{(1-x)^{k+1}}$ en fonction de $P_k$.
5. Donner le rayon de convergence et la somme de $\sum_{n\geqslant 0} n^3x^n$.
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