Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ espace vectoriel euclidien
1. Soit $F$ sous espace de $E$, soit $p$ projecteur orthogonal sur $F$.
a) Montrer que $F=\left \{ x\in E \: /\: \left \| p(x)) \right \|=\left \| x \right \| \right \}$.
b) Montrer que $\forall x\in E\: \left \| p(x)) \right \|\leqslant \left \| x \right \|$.
c) Montrer que $\forall (x,y)\in E^{2},\ \left \langle p(x),y \right \rangle=\left \langle x,p(y) \right \rangle$.
2. Soient $F,G$ et $H$ sous espaces de $E$, soient $p_{F}$ et $p_{G}$ les projecteurs orthogonaux respectivement sur $F$ et sur $G$. On suppose que $p_{F}\circ p_{G}$ est le projecteur orthogonal sur $H$.
a) Montrer que $F\cap G=H$.
b) Montrer que $p_{F}\circ p_{G}=p_{G}\circ p_{F}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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