Énoncé(s) donné(s)
Soit $n\in \Bbb N^*$ et $x>0$. On pose :
$u_n(x)=\displaystyle \frac{n^x\cdot n!}{x(x+1)\dots(x+n)}\quad,\quad v_n(x)=\ln\left (\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right ).$
1. Montrer que $v_n(x)=\displaystyle x\ln\left ( 1+\frac{1}{n} \right )-\ln\left ( 1+\frac{x}{n+1} \right ).$
2. Montrer que $\displaystyle \ln\left ( 1+\frac{1}{n} \right )\geqslant \frac{1}{n+1}.$
3. Montrer que $x\mapsto v_n(x)$ est croissante et que $v_n(x)\geqslant 0.$
4. Montrer que $v_n(x)=\mathrm O\left ( \dfrac{1}{n^2} \right )$. En déduire que $\sum v_n(x)$ converge simplement.
5. Étudier la convergence simple et uniforme de $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires du modérateur : L'hypothèse $x>0$ a été ajoutée en toute logique (par exemple pour la question 3), bien que la candidate ne se souvienne pas d'une quelconque condition sur $x$.
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