Énoncé(s) donné(s)
1) Soit $\lambda_1,...,\lambda_n$ des réels distincts. On pose $f(t)=\sum_{r=1}^{n}c_{r}e^{it\lambda_r}$. Soit $k \in [\![1,n ]\!]$. Montrer que $c_k=\lim_{T \rightarrow +\infty}\frac{1}{T} \int_0^T f(t)e^{-it\lambda_k}dt$.
2) On pose $G(x_1,...,x_n) = 1+x_1+ \dots +x_n$. On écrit $G^{p}(x_1,...,x_n)=1+\sum_{r_1, \ldots , r_n} a_{r_1,...,r_n}x_1^{r_1}...x_n^{r_n}$.
a. Montrer $1+\sum a_{r_1,...,r_n} = (1+n)^p$.
b. Montrer que le nombre de termes de cette somme ($1$ inclus) est inférieur à $(p+1)^n$.
3) Soit $\alpha_1,...,\alpha_n$ des réels. Soit $\theta_1,...,\theta_n$ d'autres réels. On suppose que les $\theta_i$ sont linéairement indépendants sur $\mathbf{Z}$, i.e. $\forall (k_1,...,k_n) \in \mathbf{Z}^n, (\sum_{i=1}^{n}k_i \theta_i=0) \Rightarrow (\forall i \in [\![1,n ]\!], k_i = 0)$. Posons $F(t) = 1+ \sum_{r=1}^{n}e^{2i\pi(\theta_{r}t-\alpha_r)}$.
Montrer que $\sup_{t\in \mathbf{R}} \left | F(t) \right | = n+1$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Question 2)a : ça va tout seul avec des $x_i$ bien choisis...
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