Énoncé(s) donné(s)Exercice 1
Soit $I=\displaystyle\int_0^1\frac{t\ln^2t}{2(1-t)^2}\,\mathrm dt$.
1. Montrer que l'intégrale $I$ est convergente.
2. Donner le développement en série entière de $x\mapsto \dfrac{1}{(1-x)^2}$.
3. En déduire que $I=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{k^2}-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{k^3}$.
Exercice 2
Soit $a_0,\dots,a_n$ des réels deux à deux distincts. On pose :
$\forall (P,Q)\in\mathbb R_n[X]^2,\ (P|Q)=\displaystyle\sum_{k=0}^nP(a_k)Q(a_k).$
1. Montrer qu'il s'agit d'une produit scalaire.
2. On pose : $F=\left\{P\in\mathbb R_n[X]\ /\ \displaystyle\sum_{k=0}^nP(a_k)=0\right\}$.
a) Justifier rapidement que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R_n[X]$, calculer sa dimension ainsi que son orthogonal.
b) Calculer la distance de $X^n$ à $F$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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