Énoncé(s) donné(s)
Centrale Math I
On considère l'endomorphisme $T$ de $\mathbb R[X]$ défini, pour tout $P\in\mathbb R[X]$, par $T(P)(X)=P(X+1).$
1. a) Exprimer les coefficients de la matrice $M_n$, où $M_n$ est la matrice dans la base $(1,X,\ldots,X^n)$ de l'endomorphisme induit par la restriction de $T$ à $\mathbb R_n[X]$ .
b) Exprimer les coefficients de $M_n^{-1}$ (on justifiera son existence).
2. On pose : $\forall n\in\mathbb N,\ H_n=\dfrac 1{n!}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(X-k)$.
Soit $P\in\mathbb R[X]$ et $(a_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ une famille de réels telle que $P=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kH_ k$.
a) Montrer que : $\forall k\in [\![0,n]\!],\ a_k=\displaystyle\sum_{q=0}^k(-1)^{q+k}\binom{k}{q}P(q).$
b) Montrer que $\forall k\geqslant n+1,\ \displaystyle\sum_{q=0}^k(-1)^{q+k}\binom{k}{q}P(q)=0.$
Centrale Math II
Soit $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ la suite définie par $a_0=a_1=1$ et pour tout $n\in\mathbb N^*,\ a_{n+1}=a_n+\dfrac{2}{n+1}\,a_{n-1}.$
1. a) Donner la liste des 1001 premiers termes de la suite $(a_n)_{n\in\mathbb N}$. Quelle est l'allure graphique obtenue ?
b) Quel peut être le comportement de $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ quand $n\to+\infty$ ?
c) Conjecturer un équivalent de $a_n$ en $+\infty$ (on introduira une constante dont on donnera une valeur approchée).
2. a) Trouver une fonction $n\mapsto P(n)$ telle que : $\forall n\in\mathbb N,\ 1\leqslant a_n\leqslant P(n).$
b) Donner le rayon de convergence $R$ de la série entière $\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}a_nx^n.$
c) Exprimer $\displaystyle\sum_{n= 0}^{+\infty}a_nx^n$ pour $|x|<R$ à l'aide des fonctions usuelles.
d) En déduire une expression de $a_n$ pour tout entier $n$.
e) Vérifier la conjecture de la question 1.c).
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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