Énoncé(s) donné(s)On munit $\mathbb R^2$ de son repère orthonormé que l'on note $(O,\vec{i},\vec{j})$. On prend alors un module, initialement en $O$, se déplaçant d'un pas sur l'une des quatre directions (nord,sud,est,ouest) de manière équiprobable.
On note $A_n=(X_n,Y_n)$ sa position à l'instant $n$. L'ensemble est muni d'un espace probabilisable. On note aussi $Z_n$ la distance du module au point $O$ à l'instant $n$.
On ne cherchera pas à déterminer la loi de $X_n$.
1. Donner l’espérance et la variance de $X_n$.
2. Montrer que $E(Z_n)\leqslant \sqrt n.$
3. On admet que : $\ \displaystyle\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}^2=\binom{2k}{k}$. Calculer alors $P(Z_n=0).$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1. Prendre une variable $D_k$ représentant la valeur du déplacement horizontal à l'instant $k$.
2. Regarder d'abord $Z_n^2$.
3. Introduire 4 variables aléatoires correspondant au nombre de déplacement dans chaque direction à un instant donné. Réfléchir sur la parité.
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