Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1On pose, pour $n \in \mathbb{N},\ a_n =\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n t\, \sin nt\,\mathrm dt$.
1. Calculer $a_0,\ a_1$ et $a_2$.
2. Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n$ pour tout $x \in \left]-1,1\right[$.
3. Déterminer le rayon de convergence de la série.
Exercice 2
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\in \mathbb N^*$. Soient $p>n$ et $(x_1,\ldots,x_p)$ une famille de vecteurs unitaires de $E$ tels que pour $i\neq j,\ \left\|x_i-x_j\right\|=d>0$.
1. Déterminer les valeurs propres de la matrice $A=((x_i|x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant p}$.
2. En déduire la valeur de $d$, puis que $p=n+1$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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