Epreuve Orale 2288

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2016
Filière : 
MP
Concours : 
Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Suites de fonctions
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)

Soit $f\in \mathcal C^1([1,+\infty[,\Bbb R)$.
Si $n\in \Bbb N^*$, on définit
       $\begin{array}[t]{cccl}f_n:&[1,+\infty[&\to &\Bbb R\\&x&\mapsto& \frac nx\left(f(x+\frac xn)-f(x))\right)\end{array}$
1. Montrer la convergence simple de la suite $(f_n)$.
2. On se place dans des cas particuliers.
     a) Cas $f=\ln$ : montrer la convergence uniforme.
     b) Cas $f=\sin$ : montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme.
3. a) On suppose $f$ de classe $\mathcal C^2$ et que $x\mapsto xf''(x)$ est bornée.   Montrer la convergence uniforme de la suite $(f_n)$.
    b) On suppose que $\frac{f(x)}{x}\to \ell$ quand $x\to +\infty$ et que la suite $(f_n)$ converge uniformément.
         Que peut-on dire du comportement de $f'$ en $+\infty$ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Question 2.b) : prendre $x=n\pi.$
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