Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par : $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ u_n=\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\sqrt[n]{k^2+n^2}$.
Exercice 2
1. Déterminer un groupe multiplicatif de matrices de $\mathfrak{M}_n(\mathbb{C})$ qui ne soit pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}).$
2. Montrer que tous les éléments d'un tel sous-groupe ont le même rang.
Exercice 3
Soit $E=\mathcal C^1([0,1],\mathbb{R}).$ On pose : $\forall f\in E,\ N(f)=\sqrt{f(0)^2+\displaystyle \int_{0}^{1}f'^2(t)\,\mathrm dt}$.
1. Vérifier qu'on définit une norme sur $E$.
2. Comparer $N$ et $\left \| \cdot \right \|_\infty $.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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