Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soit $\sum a_nz^n$ une série entière et $R$ son rayon de convergence.

1. Montrer que : $R>0\Leftrightarrow \exists q\in\mathbb{R}_+^*,\,  :\forall n\in \mathbb{N}^*,\ |a_n|\leqslant q^n.$

Dans les questions 2 et 3, on suppose que $R\neq 0$.

2. On pose $S(z)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ pour $|z|<R.$ Montrer que : $\forall r\in \left ] 0,R\right [,\ \forall n\in\mathbb{N},\ a_n=\displaystyle \frac{1}{2\pi r^n}\int_{0}^{2\pi}S\left (r\mathrm{e}^{i\theta } \right )\mathrm{e}^{-in\theta }\, \mathrm{d}\theta.$

3. On suppose que $S(0)\neq 0.$ Montrer que $\dfrac{1}{S} $ est développable en série entière au voisinage de 0 c'est-à-dire qu'il existe une suite $(b_n)_n\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ avec $\sum b_n z^n$ de rayon non nul, telle que pour $\vert z\vert$ assez petit $\dfrac 1{S(z)}=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n$.