Énoncé(s) donné(s)
On considère la suite $e = (e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $e_n = \ln(1 + \frac{1}{2^n})$. On notera $r_n = \sum_{k=n+1}^{+ \infty} e_k$ le reste d'ordre $n$ de la série.
1. Montrer que la série $\sum_{n \geqslant 0}e_n$ converge. On notera $s$ sa somme.
Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N},\ e_n \leqslant r_n$.
$\blacktriangleright$ On pourra commencer par démontrer que pour tout couple $(x, y)$ de réels positifs, on a $\ln(1 + x + y) \leqslant \ln(1 + x) + \ln(1 + y)$.
2. Soit $t \in [0, s]$. On considère la suite $t_n$ définie par :
$\quad\quad\quad t_0=0\quad,\quad \forall n\in\mathbb N,\ \begin{cases} t_{n + 1} = t_n + e_n & \text{si } t_n + e_n \leqslant t \\ t_{n + 1} = t_n & \text{sinon} \end{cases}.$
Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \leqslant t - t_n \leqslant e_n + r_n$.
3. Montrer qu'il existe une suite $(d_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs dans $\{0, 1 \}$ telle que $\sum_{n = 0}^{+ \infty} d_n e_n = t$.
4. Soit $\varepsilon > 0$. Donner un moyen simple de trouver un entier $n$ tel que $|\mathrm e^t - \mathrm e^{t_n}| < \varepsilon$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
- pour la deuxième inégalité de la question 2 : par récurrence
- pour la question 4 : on cherche un moyen le plus simple possible...
Commentaires divers
- épreuve de Maths 1 (sans préparation)
- l'examinateur m'a proposé de répondre à la question 3 à l'oral, sans écrire au tableau
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