Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit $(P,Q)=\int_0^1 P(t)Q(t)dt$.
1) Montrer que $(P,Q)$ est un produit scalaire.
2) Soit $\phi(P)=P(0)$. En utilisant la suite de polynômes $P_n=(x-1)^n$, montrer que $\phi$ n'est pas continue.
3) Existe-t-il un polynôme $Q$ tel que pour tout $P$, $(P,Q)=\phi(P)$ ?
4) Reprendre dans $\mathbb{R}_n[X]$ les questions 2 et 3.

Question de cours :
Rappeler la définition de valeur propre. Montrer que "$\lambda$ valeur propre de $u$ équivaut à $det(u-\lambda Id)=0$".

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
Sorti au bout de 30 minutes, note = 20/20.