Énoncé(s) donné(s)
Question 1 :
Cette question sera résolue à l'aide du logiciel de calcul formel ; on pourra utiliser la fonction Prime[].
a) On note, pour tout entier $p$ premier et $k \in [1,p-1]$ entier : $p_k = \frac{(p-1)!}{k(p-k)}$.
Étudier, pour les 20 premiers nombres premiers, la divisibilité de $\sum_{k=1}^{p-1} p_k$ par $p$.
b) On note $\frac{a_p}{b_p}$ la forme irréductible de $\sum_{k=1}^{p-1} p_k$.
Étudier la divisibilité de $a_p$ par $p^2$, pour les 20 premiers nombres
premiers.
Question 2 :
On suppose maintenant $p$
supérieur ou égal à 5 et on se place dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
a) Montrer que $\overline{(p-1)!}=\overline{-1}$.
b) Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1} \overline{p_k} = \sum_{k=1}^{p-1} \overline{k}^{-2}$.
c) Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1} \overline{k}^{-2}= \sum_{k=1}^{p-1} \overline{k}^2$.
d) Conclure.
Question 3 :
En écrivant $p\,b_p\,\sum_{k=1}^{p-1} \overline{p_k}$ en fonction de $a_p$, conclure sur la divisibilité de $a_p$ par $p^2$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Il m'a aidé en me glissant à l'oreille qu'un petit changement de variable pourrait faire apparaître $\frac{1}{p-k}$, pour la question 3.
Commentaires divers
En ne traitant que cet exercice, note obtenue : 18.
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