Soit $G$ un sous-groupe de $\mathfrak{M}_n(\mathbf{C})$.
1. En supposant $G$ fini, montrer que $\forall g \in G $ $ \exists\, N_g \in \mathbf{N}$ tel que $g^{N_g} = I_n $
On note $\operatorname{Tr}(G) = \{\operatorname{Tr}g, g\in G\} $. Soit les propositions :
i) $G$ est fini
ii) $\operatorname{Tr}(G)$ est fini et tous les éléments de $G$ sont diagonalisables
2. Montrer que
i) implique
ii)
3. Montrer la réciproque.
$\blacktriangleright $ Indication : Considérer $(A_1,...,A_p)$ une base de l'espace vectoriel engendré par $G$ et l'application $f: \begin{array}[t]{rcl} G & \to & \mathbb{C}^p \\ g & \mapsto & (\operatorname{Tr}(A_1g), \ldots, \operatorname{Tr}(A_pg)) \end{array} $.
Commentaires divers
Exercice sans préparation
07/08/2015 à 01:20
- La question 1 est plus probablement : montrer que si G est fini, alors G est d'exposant fini, c'est-à-dire qu'il existe un entier m>0 tel que pour tout g dans G, il existe N_g entier dans [1,m] tel que gNg = In.