Epreuve Orale 1790

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2015
Filière : 
PSI
Concours : 
CCP
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Diagonalisation, Espace vectoriel, Rang, série harmonique, Séries numériques, Intégrales, Décomposition en éléments simples
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et u un endomorphisme de E, tel que rg(u)=1.
Montrer que u est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.

Exercice 2
On rappelle que la série harmonique alternée converge et : $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac {(-1)^{n}} {n} = -ln2 $
1- Montrer qu'il existe a,b,c ∈ ℝ tels que $ \frac {1} {4X^{3}-X} = \frac {a} {X} + \frac{ b} {2X-1} +\frac {c } {2X+1} $
2- Montrer que $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac {1} {2k-1} - \frac {1} {2k} $ et $ \sum_{k=2}^{+\infty} \frac {1} {2k+1} - \frac {1} {2k} $ convergent, calculer leur somme.
3- Montrer que $ \sum_{k=2}^{+\infty} \frac {1} {4k^{3}-k} $ converge, calculer sa somme.
4- L'intégrale impropre $ \int_{2}^{+\infty} \frac {1} {4x^{3}-x} dx $ converge-t-elle ? Si oui, la calculer.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
ex1: Se servir de la matrice de u en prenant une base du noyau complétée en base de E
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