Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
On définit la suite de fonctions suivantes:
$f_0(x)=\sin(x)$  et $f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_0^{x}t\cdot f_n(t)\,\mathrm{d}t$
1)Soit $E$ l'espace des polynômes à coefficients réels.  On définit $\phi$ sur $E \times E$ par
$\phi:(P,Q) \mapsto (P'-Q,P+Q')$
Montrer que $\phi$ est un automorphisme de ExE
2) Montrer que :$\forall n \in \mathbb{N},\exists (P_n,Q_n) \in E \times E, \text{  tel que } f_n(x)=\sin(x)\,P_n(x) + \cos(x)\,Q_n(x)$, avec $P_n$ pair, $Q_n$ impair, et $P_n$ à coefficients entiers.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pendant la récurrence de la question 2, m'indique comment utiliser l'automorphisme pour définir $P_{n+1}, Q_{n+1}$
Commentaires divers