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Epreuve Orale 1639

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2015

Filière : MP

Concours : Magistère

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Séries - Séries de Fourier - Séries entières

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $g (t)= \displaystyle \sum_{n \geq 1} \dfrac {z_n}{n-t} $ où $(z_n)_{n \geq 1} $ est une suite de complexes de carré sommable. 
1) Trouver le domaine de définition. 
2) Soit $t \in ]-1;1 [$. 
Montrer que $ g (t) = \displaystyle \sum_{n \geq 1} \sum_{m \geq 0} \dfrac {z_n t^m}{n^{m+1}} = \sum_{m \geq 0 } \left ( \sum_{ n \geq 1} \dfrac{z_n}{n^{m+1}} \right) t^m$.
Que dire de g ? 
3) Montrer que si $g (t)=0$ pour $t \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ alors $g (t)=0 $ pour $ t \in ]-1,1 [$. 
Montrer que $z_1 = 0 $.
Montrer que $ \forall n \in \mathbb N^*, z_n = 0$. 
Exercice 2
Soit $ h : \mathbb R \mapsto \mathbb C, 2 \pi$-périodique telle que $\forall x,y \in \mathbb R, \vert h (x) - h (y) \vert \leq L \vert x-y \vert $. 
On pose $ a_k (h)= \dfrac { 1 } { 2 \pi} \displaystyle \int_{- \pi}^{\pi} h (t) e^{-ikt} dt $. 
On admet que $ \displaystyle \sum_{ k \in \mathbb Z} \vert a_k (h) \vert ^2 = \dfrac { 1 } { 2 \pi } \int_{- \pi}^{\pi} \vert h (t) \vert^2 dt $. 
1) Soit $\alpha \in \mathbb R $. On pose $g: \mathbb R \mapsto \mathbb C$ définie par $g(t)=h (\alpha + t) - h (t)$. 
Calculer $a_k (g) $. 
2) Montrer que $ \displaystyle \sum_{k \in \mathbb Z} \vert a_k ( g ) \vert^2 \left| sin \left( \dfrac{k \alpha }{2} \right) \right|^2 \leq \left( \dfrac {L \alpha }{2} \right)^2$. 
3) Montrer que $ \displaystyle \sum_{k \in \mathbb Z} k^2 | a_k (g)|^2 $ converge. 
On pourra démontrer que $ \forall t \in [0, \frac {\pi}{2}], sin (t) \geq \dfrac { 2 } { \pi} t $ 
4) Montrer que $f (t)= \displaystyle \sum_{k \in \mathbb Z} a_k (h) e^{ikt} $ converge. Calculer la somme.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Donc un peu de séries de Fourier mais tout était rappelé.
Il s'agit de l'oral d'analyse pour le magistère de Mathématiques de l'ENS Rennes.

Commentaires

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