Énoncé(s) donné(s)Exercice 1
Soit $g (t)= \displaystyle \sum_{n \geq 1} \dfrac {z_n}{n-t} $ où $(z_n)_{n \geq 1} $ est une suite de complexes de carré sommable.
1) Trouver le domaine de définition.
2) Soit $t \in ]-1;1 [$.
Montrer que $ g (t) = \displaystyle \sum_{n \geq 1} \sum_{m \geq 0} \dfrac {z_n t^m}{n^{m+1}} = \sum_{m \geq 0 } \left ( \sum_{ n \geq 1} \dfrac{z_n}{n^{m+1}} \right) t^m$.
Que dire de g ?
3) Montrer que si $g (t)=0$ pour $t \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ alors $g (t)=0 $ pour $ t \in ]-1,1 [$.
Montrer que $z_1 = 0 $.
Montrer que $ \forall n \in \mathbb N^*, z_n = 0$.
Exercice 2
Soit $ h : \mathbb R \mapsto \mathbb C, 2 \pi$-périodique telle que $\forall x,y \in \mathbb R, \vert h (x) - h (y) \vert \leq L \vert x-y \vert $.
On pose $ a_k (h)= \dfrac { 1 } { 2 \pi} \displaystyle \int_{- \pi}^{\pi} h (t) e^{-ikt} dt $.
On admet que $ \displaystyle \sum_{ k \in \mathbb Z} \vert a_k (h) \vert ^2 = \dfrac { 1 } { 2 \pi } \int_{- \pi}^{\pi} \vert h (t) \vert^2 dt $.
1) Soit $\alpha \in \mathbb R $. On pose $g: \mathbb R \mapsto \mathbb C$ définie par $g(t)=h (\alpha + t) - h (t)$.
Calculer $a_k (g) $.
2) Montrer que $ \displaystyle \sum_{k \in \mathbb Z} \vert a_k ( g ) \vert^2 \left| sin \left( \dfrac{k \alpha }{2} \right) \right|^2 \leq \left( \dfrac {L \alpha }{2} \right)^2$.
3) Montrer que $ \displaystyle \sum_{k \in \mathbb Z} k^2 | a_k (g)|^2 $ converge.
On pourra démontrer que $ \forall t \in [0, \frac {\pi}{2}], sin (t) \geq \dfrac { 2 } { \pi} t $
4) Montrer que $f (t)= \displaystyle \sum_{k \in \mathbb Z} a_k (h) e^{ikt} $ converge. Calculer la somme.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Donc un peu de séries de Fourier mais tout était rappelé.
Il s'agit de l'oral d'analyse pour le magistère de Mathématiques de l'ENS Rennes.
Aucun commentaire posté pour le moment