Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 - Algèbre (10-15 min de préparation)
On se donne deux matrices A et B de $M_n(\mathbb{C})$ et on considère l'endomorphisme de $M_n(\mathbb{C}),\varphi : M \mapsto AMB$
Q1) Montrer que $\varphi = 0 \Leftrightarrow$ A=0 ou B=0
Q2) Montrer que $\varphi$ est nilpotente si et seulement si A ou B est nilpotente
Q3) Montre que si $\varphi$ est diagonalisable alors A et B le sont.
Q4) Qu'en est-il de la réciproque?

Exercice 2 - Analyse (sans préparation)
On considère la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty } \frac{x^{2n+1}}{\prod_{k=0}^{n}(2k+1)}$
Q1) Quel est son rayon de convergence?
Q2) Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty } \frac{1}{\prod_{k=0}^{n}(2k+1)}=\sqrt{e}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!(2n+1)}$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 2 Q2 : considérer une équation différentielle

Commentaires divers