$\qquad \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad f_n(x)=\dfrac{x^5-x+1}{(x^2+1)^n}$
1- Etudier l'intégrabilité de $f_n$.
2- (Un ordinateur muni de Pyzo (Python) était à disposition)
a- On pose, quand cela a un sens : $\forall n , I_n= \int _0^{+\infty}f_n(t)dt$.
Ecrire un programme Python permettant de calculer $I_n$, quand cela a un sens.
b- Calculer les valeurs de $I_n$ pour $n$ allant de $4$ à $20$ avec le programme précédent.
3- Soit $n$ supérieur ou égal à 4. On pose $J_n=\int_0^{+\infty}\dfrac{t}{(t^2+1)^n}dt$ et $W_n=\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{(t^2+1)^n}dt$.
a- Exprimer $I_n$ en fonction de $J_n$ et $W_n$.
b- En déduire $I_n$ en fonction de $n$.
c- Donner la nature de la suite $(I_n)_{n \geq 4}$.
4- Donner la nature de la série de terme général $I_n$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pas d'indication
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Epreuve de Mathématique 2 de Centrale
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