Énoncé(s) donné(s) . On note $O_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices orthogonales.
. On note $S_n^{++}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques dont les valeurs propres sont strictement positives.
1- Rappeler la structure de $O_n(\mathbb{R})$ et le démontrer. Montrer que cet ensemble est une partie compacte de $M_n(\mathbb{R})$ non connexe par arcs.
2- Si $M$ est dans $Gl_n(\mathbb{R})$, montrer l'existence d'un couple $(\Omega,\Sigma)$ de $O_n(\mathbb{R})\times S_n^{++}(\mathbb{R})$, où :
$\qquad M=\Omega \Sigma$
3- Montrer l'unicité de ce couple.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Epreuve de Mathématique 1 de Centrale
Question subsidiaire : Nature de $^tMM$ dans la question 2 (symétrique définie positive, réponse non donnée) à montrer.
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