Énoncé(s) donné(s)
On définit une suite de fonctions $(f_n)$ sur $[0,1]$ par $f_n(x)=x^n(1-x)$.
Tracer (à l'aide de Python) $(f_n)_{n\leq 10}$. Faire de même avec $nf_n$ et $n^2f_n$.
Etudier la convergence simple et uniforme de $(f_n)$, ainsi que la limite de $\int_0^1f_n(t)\mathrm{d}t$. Faire de même avec $nf_n$ et $n^2f_n$.
Pour toute fonction $f$, on définit $f_+$ par $f_+=\max(f,0)$.
Soit $u:]0,1[\rightarrow\mathbb{R}$ continue et intégrable sur ]0, 1[.
Montrer que $\int_0^1(u-k)_+(t)\mathrm{d}t\underset{k\to+\infty}{\longrightarrow}0$.
Que peut-on dire de plus si $u$ est prolongeable par continuité en $0$ et en $1$ ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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