Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1:
On dispose de 9 jetons numérotés de 1 à 9. On considère une matrice carrée de taille 3*3 composée de ces 9 jetons.
On cherche à déterminer la probabilité p pour que le déterminant de la matrice soit impair.
1) Question préliminaire.
Soit A=[ai,j]$\in$$M_n$(Z), n$\ge$2.
Montrer que la classe du déterminant de A modulo 2 est égale à la classe du déterminant de la matrice dont les coefficients sont les restes ri,j de la division euclidienne de ai,j par 2.
2) On note $\mathcal{M}$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 composées des 9 jetons.
Déterminer Card($\mathcal{M}$).
3) On définit $\Omega$={M$\in$$\mathcal{M}$, det(M) impair} et $\Delta$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 dont cinq coefficients sont égaux à 1, quatre coefficients sont nuls et de déterminant impair.
Donner une relation entre Card($\Omega$) et Card($\Delta$).
4) Détermination de Card($\Delta$).
a) On considère une matrice de $\Delta$ dont une colonne possède trois coefficients égaux à 1.
Déterminer le nombre K1 de ces matrices.
b) On considère une matrice de $\Delta$ dont 2 colonnes possèdent exactement un coefficient nul.
Déterminer le nombre K2 de ces matrices.
c) Calculer Card($\Delta$)
d) En déduire Card($\Omega$)
5) Déterminer la probabilité p.
Exercice 2: ( exercice n°44 de la banque de CCP)
Soit E un espace vectoriel normé. Soient A et B deux parties non vides de E.
1. a) Rappeler la caractérisation de l’adhérence d’un ensemble à l’aide des suites.
b) Montrer que A $\subset$ B $\Rightarrow$ $\overline{A}$ $\subset$ $\overline{B}$.
2. Montrer que $\overline{A\cup B}$ = $\overline{A}$ $\cup$ $\overline{B}$.
Remarque : Une réponse sans utiliser les suites est aussi acceptée.
3. a) Montrer que $\overline{A \cap B}$ $\subset$ $\overline{A}$$\cap$$\overline{B}$.
b) Montrer à l’aide d’un exemple que l’autre inclusion n’est pas forcément vérifiée (on pourra prendre E = R).
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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04/07/2015 à 23:38