Énoncé(s) donné(s)
1) Soit $a$ un réel strictement positif et $z$ un réel positif. Etudier la convergence de la suite définie par récurrence par : $x_0=a$ et $ \forall n \in \mathbf{N}, x_{n+1}= x_n - \dfrac{x_n^2 -z}{2x_n}$.
2) Soit $p$ un réel strictement positif. Étudier la convergence de la suite définie par : $x_0=a$ et $ \forall n \in \mathbf{N}, x_{n+1}= x_n - \dfrac{x_n^p -z}{px_n^{p-1}}$.
3) De quelle manière pourrait-on généraliser cette définition de suite ? *sous la forme $x_0=a$ et $\forall n \in \mathbf{N}, x_{n+1}= x_n - \dfrac{\mathrm{f}(x_n)}{\mathrm{f'}(x_n)}$*
On considère donc un réel strictement positif $z$, et un fonction $\mathrm{f}$ définie et de classe $C^2$ au voisinage de $z$ telle que $\mathrm{f}(z)=0$ et $\mathrm{f}'(z) \neq 0$. Montrer que pour $a$ bien choisi la suite définie par récurrence par $x_0=a$ et $\forall n \in \mathbf{N}, x_{n+1}= x_n - \dfrac{\mathrm{f}(x_n)}{\mathrm{f'}(x_n)}$ vérifie : $\exists k \in \mathbf{R}_+^*, \forall n \in \mathbf{N}^*, |x_n-z|\leq k^{2^{n-1}}|a-z|^{2^n}$ .
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
J'avais de moi-même fait un dessin approximatif de la fonction de récurrence, mais il m'a conseillé d'étudier plus en détail la fonction pour pouvoir le préciser (position et valeur du minimum de la fonction notamment).
Pour la question 3) il m'a amené à écrire un développement à l'ordre 2 de $\mathrm{f}$ sous la forme $0=\mathrm{f}(z)=\mathrm{f}(x)+\mathrm{f}'(x) (z-x) + \mathrm{f}''(y) \frac{(z-x)^2}{2}$ où $y$ est compris entre $x$ et $z$.
Dans les dernières minutes comme je n'avais pas fini la troisième question, il m'a demandé de tracer une situation du type de celle étudiée (fonction s'annulant en un point et de classe $C^2$ au voisinage de ce point), et d'essayer de trouver un technique utilisant la dérivée qui permettrait d'approcher rapidement $z$ par récurrence en partant d'un point quelconque. Commentaires divers
Examinateur sympathique qui m'a laissé faire pour les deux premières questions, plus faciles, et qui pour la troisième a plus discuté avec moi sur la manière de s'y prendre.
En fin d'oral il m'a posé quelques question sur ce que je voulais faire après ma prépa, les écoles qui m'intéressaient, le métier que je visais, etc.
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