Énoncé(s) donné(s)
On note $I = \left]0,+\infty\right[$ et on définit $w$ sur $I$ par $ω(x) =x^{-\ln(x)}$. On note $E=C(I,\mathbb R)$ l'ensemble des fonctions définies et continues sur $I$ et à valeur réelles et on note $E_2$ l'ensemble des fonctions continues sur $I$ telles que $x \mapsto f^2(x)ω(x)$ soit intégrable sur $I$. On définit enfin l'application qui à deux éléments $f$ et $g$ de $E_2$ associe $(f|g)=\displaystyle{\int_0^{+\infty}} f(t)g(t)w(t)\mathrm{d}t$
1) Montrer que $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et que $\mathbb R[X]\subset E_2$
2) Montrer que l'application $(f,g) → (f | g)$ définit un produit scalaire sur $E_2$.
3) On définit $f : x \mapsto \sin (2\pi \ln(x))$ et pour tout entier naturel $n$, $P_n : x \mapsto x^n$. Montrer que $(f | Pn)= 0$.
4) $\mathbb R[X]$ est-il dense dans $E_2$ ? (pour la norme associée à $(.|.)$ )
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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