Énoncé(s) donné(s)On pose $\varphi : t \mapsto exp(-\frac{t^2}{2})$
Q1) $I = \int_{\mathbb{R}}^{ } \varphi (t)dt $
- Prouver que I converge.
On admettra dans le suite que $ I = \sqrt{2\pi }$
Q2) $I_k = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{\mathbb{R}}^{ }\varphi (t)exp(kt)dt$
- Prouver que $I_k$ converge.
- Calculer $I_k$.
Q3) $f_0 : t \mapsto \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{exp(-\frac{ln(x)^2}{2})}{x} \text{ si } x> 0 \\
0 \text{ si } x\leq 0
\end{cases}$
- Montrer que $f_0$ est intégrable.
- Calculer la valeur de l'intégrale.
Q4) $f_1 : t \mapsto \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2\pi }}f_0sin(2\pi ln(x)) \text{ si } x> 0 \\
0 \text{ si } x\leq 0
\end{cases}$
- Montrer que $f_1$ est intégrable.
- Calculer la valeur de l'intégrale.
Q5) Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n$ tel que $\varphi ^{(n)}(t) = P_n(t)\varphi (t)$
Commentaires divers
Q1:
Pour la convergence entre 1 et + inf, j'ai majoré par la fonction classique en exponentielle qui converge dans le cours, et il m'a demandé de la démontrer!
Q5:
J'ai commencé par l'unicité (argument important: les dérivées n-iemes sont non nulles!), puis pour l'existence j'ai d'abord donné $P_1$, puis j'ai proposé une récurrence pour déterminer $P_n$ mais pas sur qu'il fallait le déterminer, j'ai donc expliqué qu'à chaque dérivée on pouvait mettre $exp(-\frac{t^2}{2})$ en facteur mais c'était pas très joli à présenter, je pense qu'il attendait un argument plus simple et convaincant.
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