Énoncé(s) donné(s)
Soit $(B_k)_{k\in\mathbb{N^*}}$ suite de variables aléatoires de même loi : pour $k\in\mathbb{N^*}$, on a $\mathrm{P}(B_k=1)=p$ et $\mathrm{P}(B_k=-1)=q=1-p$ avec $0< p <1$.
On pose $S_0=0$, et pour $n\geq 1$ : $S_n = \displaystyle{\sum_{k=1}^nB_k}$.
On note $T=\inf\{n\in\mathbb{N},S_n=1\}$, éventuellement $+\infty$, et on définit $f(n)=\mathrm{P}(T=n)$.
-Montrer que $f(1)=p$.
-Montrer que pour $n\geq 2$, on a : $f(n)=q\displaystyle{\sum_{k=2}^nf(k-1)f(n-k)}$.
On pose $F(s)=\mathrm{E}[s^T\mathbf{1}_{T<+\infty}]$.
-Donner une condition suffisante sur $s$ pour que $F(s)$ soit bien définie.
-Montrer que l'on a alors : $F(s) = qsF(s)^2+ps$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.
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