Énoncé(s) donné(s)
CENTRALE 1 2011 - Exemples de planches (source: site du concours).
Exercice avec préparation:On considère les deux surfaces dans ${\mathbb R}^3$
$\mathcal{S}_1 \,= \, \{ (x,y,\,z)\in{\mathbb R}^3 \,;\enspace x \sin z = y \cos z\}$
$\mathcal{S}_2 \, = \, \{ ( x, y, \,z ) \in {\mathbb R}^3\,;\enspace x^2 + y^2 = 1 \}$.
1.1. Représenter $\mathcal{S}_2$.
1.2. Écrire des équations des plans tangents à ces surfaces au point $A \,=\, \left(\dfrac{1}{2},\, \dfrac{\sqrt{3}}{2},\, \dfrac{\pi}{3}\right)$.
2.1. Définir deux courbes $\gamma_1$ et $\gamma_2$ vérifiant: $\left\{\begin{array}{l}
\gamma_1 \cup \gamma_2 \,=\, \mathcal{S}_1 \cap \mathcal{S}_2\\[.7mm]
\gamma_1 \cap \gamma_2 \,=\, \emptyset \\[.7mm]
A \in \gamma_1\,.
\end{array}
\right.$
2.2. Dessiner $\gamma_1$. Déterminer la tangente en A à $\gamma_1$.
Soit $F : {\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^3$ définie sur ${\mathbb R}^3$ par $F(x,y,\,z) \,=\,\left(\dfrac{-x}{x^2+y^2}\,\, ,\,\, \dfrac{-y}{x^2+y^2}\,\,,\,\,z\right)$.
3. Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{U}$ de $F$? Contient-il $\mathcal{S}_1$ ? $\mathcal{S}_2$ ?
4. Montrer que $F$ est bijectif de $\mathcal{U}$ sur $\mathcal{U}$ et de classe $\cal{C}^1$ .
Écrire sa matrice jacobienne au point $A$.
5. Donner des équations des plans tangents en $F(A)$ aux surfaces $F(\mathcal{S}_1\cap \mathcal{U})$ et $F(\mathcal{S}_2)$.
6. Identifier la courbe $F\circ\gamma_1$ et définir sa tangente au point $F(A)$.
Exercice sans préparation:
Écrire la matrice, relativement à la base canonique de ${\mathbb R}^3$,
de la projection orthogonale sur la droite dirigée par le vecteur $\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Première épreuve de l'oral de centrale; calculatrice interdite.
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